تاریخچه فراکتال ها

فراکتال شکلی از یک شکل ریاضی بی نهایت پیچیده است. به طور کلی، یک فراکتال الگویی است که به طور مداوم تکرار می شود و هر بخش از فراکتال، مهم نیست که چقدر بزرگ یا کوچک شده است، به نظر می رسد که با شکل اصلی یکسان است. بنابراین ممکن است تعجب کنید که چه کسی فراکتال ها را کشف کرده است؟در این مقاله، همه چیزهایی را که باید در مورد تاریخچه فراکتال ها بدانید را به تفصیل مورد بحث قرار می دهم.

پیر فاتو و گاستون جولیا هنگام مطالعه سیستم های پیچیده ریاضی در آغاز قرن بیستم، فراکتال ها را کشف کردند. فراکتال ها که هیولاهای ریاضی با پیچیدگی نامحدود در نظر گرفته می شوند، در برابر تحلیل خطی مقاومت می کنند. فراکتال ها فراموش شدند تا اینکه بنوا ماندلبرو کار خود را در دهه 1960 منتشر کرد.

مندلبروت در حین کار در آزمایشگاه های آرمونک IBM در نیویورک، اصطلاح فراکتال را ابداع کرد. او صدها سال فکر و رشد ریاضی را تثبیت کرد و معنای رسمی خود را با تصاویر دیدنی ساخته شده توسط رایانه نشان داد. این تصاویر، مانند مجموعه نمادین مندلبروت، تخیل عمومی را مجذوب خود کرد. بسیاری از آنها مبتنی بر بازگشت بودند و باعث به وجود آمدن تفسیر رایج اصطلاح "فرکتال" شد. به خواندن ادامه دهید تا درباره اختراع، انواع، تکنیک های تولید و کاربرد آن بیشتر بدانید.

چه کسی فراکتال ها را اختراع کرد؟

• چه کسی فراکتال ها را اختراع کرد؟
  • روزهای اولیه اختراع
  • اولین تعریف فراکتال
  • فراکتال های خود معکوس
  • تکامل تعریف فراکتال ها
  • Benoit B. Mandelbrot: پدر فراکتال ها
  • فراکتال ها در هندسه
  • فراکتال ها در هنر
  • فراکتال ها در زیست شناسی
  • فراکتال ها در تصویربرداری
  • 1. فراکتال ها در برگ ها و گیاهان
  • 2. مارپیچ های رشد
  • 3. الکتریسیته فراکتال و صاعقه
  • 4. فراکتال ها در بدن انسان و حیوان
  • 5. فراکتال ها در جغرافیا، رودخانه ها و زمین
  • مجموعه ماندلبروت
  • مجموعه جولیا
  • 1. فراکتال های زمان فرار
  • 2. سیستم های تابع تکراری
  • 3. فراکتال های تصادفی
  • آیا انسان ها فراکتال هستند؟
  • بهترین مکان ها برای جستجوی فراکتال ها کدامند؟
  • فراکتال های سه بعدی چیست؟
  • منابع

  بسیاری از مردم می توانند به یاد بیاورند که اولین بار چه زمانی یک تصویر فراکتال را دیدند. زمانی که دوست دبیرستانی ام تصاویری از فرکتال ها را در اینترنت پیدا کرد، اولین بار در مورد فراکتال ها شنیدم. آنها البته خیلی زودتر از آن ایجاد شده اند.

  فراکتال ها تاریخچه ای طولانی دارند، که با تحقیقات نظری شروع می شود و تا برنامه های گرافیکی کامپیوتری مدرن پیشرفت می کند، با چندین فرد برجسته که فرم های فرکتال کهن الگویی را ارائه می دهند.

  استفاده از مقیاس گذاری فراکتال ، که در آن عناصر ساختار جزئی تمایل به یکسان با قطعات مهم تر دارند ، یک موضوع مشترک در معماری سنتی آفریقا است ، مانند یک جامعه دایره ای که از خانه های دایره ای تشکیل شده است.[1]

  روزهای اولیه اختراع

  اولین نقطه در جدول زمانی فراکتال از قرن هفدهم آغاز می شود. یکی از مشهورترین ریاضیدانان و فیلسوفان زمان گوتفرید لایب نیتس در نظر داشت که خودآگاهی بازگشتی را در نظر بگیرد.

  او از اصطلاح "نمایندگان کسری" برای اشاره به خصوصیات مقیاس استفاده کرد.

  سوابق تاریخی همچنین می گوید که او معتقد بود که فقط یک خط مستقیم نیز شبیه خود است ، اما در درک مدرن ما ، ما این یک فراکتال را در نظر نمی گیریم.[2]

  

  پرتره ای از گوتفرید لایبنیز

  متأسفانه برای ما ، علاقه به موضوعات فراکتال و مباحث پس از لایب نیتس کاهش یافته است. معدودی که این موضوع را مطالعه کردند ، آنها را "هیولاهای ریاضی" خواندند.[2]

  تعریف اول فراکتال

  توقف بعدی ما در جدول زمانی فراکتال ما را به سمت 18 ژوئیه 1872 می پرید.

  در آکادمی علوم سلطنتی پروس ، کارل ویرستراس عملکرد ویژه ای را کشف کرد که اکنون به نام وی نامگذاری شده است.

  

  ریاضیدان کارل ویرستراس

  این عملکرد در همه جا مداوم است اما در هیچ کجا قابل تفاوت نیست. اگر می خواهید در مورد این موضوع و نحوه ارتباط آن با Fractals اطلاعات بیشتری کسب کنید ، پست من را در مورد اینکه آیا فراکتال ها متفاوت هستند ، بررسی کنید.

  جورج کانتور ، دانشجویی که بعداً ریاضیدان می شد ، در سخنرانی های ویرستراس شرکت کرده بود.

  او زیر مجموعه های خط واقعی را که اکنون ما آن را مجموعه های کانتور می نامیم ، مطالعه کرد. این خطوط مشابه هستند و با از بین بردن بخش ها از الگوی پیروی می کنند. ما امروزه کانتور را یک الگوی فراکتال می دانیم.

  فراکتال های خود بی نظیر

  در اواخر دهه 1800 ، هنری پینکار و فلیکس کلین آنچه را که اکنون ما به آن فراکتال های "خودمختار" می نامیم ، کشف کردند.[3]

  در سال 1904 ، هلژ فون كوچ از تعریف ویرستراس مبنی بر اینكه فراكال ها مداوم بودند اما متفاوت نبودند. او با ایده های Poincaré شروع کرد و در عوض تعریفی از هندسه پیشنهاد کرد. او تصاویر دستی را از یک الگوی تکراری یکسان ایجاد کرد که اکنون ما آن را به عنوان برف کچ می شناسیم. آیا می خواهید یاد بگیرید که الگوهای فراکتالی مانند کوچ بکشید؟پست من را در مورد نحوه ترسیم فراکتال ها با دست بررسی کنید.

  

  نقاشی مثلث Sierpinski Fractal

  توقف بعدی در جدول زمانی کمی بیش از یک دهه بعد است. در سال 1915 ، Waclaw Sierpinski آنچه را که ما مثلث Sierpinski می نامیم امروز ایجاد کرد. همچنین می توانید یاد بگیرید که این مثلث را با استفاده از راهنمای من ترسیم کنید.

  چند سال بعد ، میدان فراکتال ها شکل نظری محکم تری گرفتند. دو ریاضیدان فرانسوی ، گاستون جولیا و پیر فاتو شروع به ارتباط مطالعات خود در مورد دینامیک ، جذب کننده ها ، دفع کننده ها و هواپیمای شماره پیچیده کردند. امروز ما این تئوری هرج و مرج را می نامیم. این دو با استفاده از توابع تکراری و اعداد پیچیده به نتایج اساساً یکسان رسیدند.

  

  جولیا ناپایدار به عنوان "گرد و غبار فاتو" جدا شده است

  تکامل تعریف فراکتال ها

  در همان سال ، فلیکس هاوسدورف نقش مهمی دیگر در زمینه فراکتال ها داشت. یکی از ویژگی های مهم این است که اندازه گیری ابعاد وجود دارد که ما آن را ابعاد Hausdorff می نامیم. فراکتال ها به جای 2-D یا 3-D می توانند از ابعاد غیر اینتینر مانند 2. 5 یا 3. 1 برخوردار باشند.

  پل لوی سهم مهمی در فرآیندهای تصادفی ، پیاده روی های تصادفی و احتمال داشت. در رابطه با این مطالعه ، او بر روی منحنی های خودی گسترش یافت که اکنون آن را منحنی Lévy C می نامیم.

  یک واقعیت ناگوار در مورد تحقیقات فراکتال تاکنون این است که آنها با فن آوری های زمان خود محدود شده اند. برخی از فراکتال ها مانند Fractals Cantor و Sierpinski می توانند با نقشه ها ایجاد شوند ، با این حال ، برخی از مطالعات فراکتال به کمک گرافیک رایانه نیاز دارند.

  هنر فراکتالی فانتزی خود را می خواهید؟- من شما را پوشانده ام!

  بیشترین آثار هنری ، لباس و تخت سگ را کشف کنید. وقت خود را برای جستجوی گزینه های کمتر هیجان انگیز متوقف کنید! دوستان و عزیزان خود را در حین حمایت از سایت تحت تأثیر قرار دهید

  سرگرمی فراکتال را پیدا کنید!

  

  Benoit B. Mandelbrot: پدر فراکتال

  Benoit B. Mandelbrot ، یک ریاضیدان لهستانی متولد پل لوی به عنوان مشاور دانشگاهی بود. Mandelbrot اصطلاح Fractal را اختراع کرد و آن را از کلمه لاتین Fractus نامگذاری کرد ، که به معنی "شکسته" یا "تکه تکه" است.

  Mandelbrot در ابتدا از چاپگرها برای ایجاد گرافیکی مورد نیاز برای مطالعه پویایی فراکتال جذب کننده استفاده می کرد. بعداً ، او از صفحه های رایانه ای استفاده می کرد زیرا این فناوری با ایده های خود روبرو شد.

  Mandelbrot از ایده های فراکتال برای پیشبرد مطالعه اشیاء فیزیکی ، احتمال ، رفتار بازار سهام و پویایی استفاده کرد. همانطور که در پست خود در مورد چگونگی استفاده از فراکتال ها در فناوری بحث کردم ، هندسه فراکتال نیز مینیاتوریزاسیون تلفنهای سلولی را به وجود آورد.

  

  لورن کارپنتر در سال 1980 نرم افزاری را برای تولید و تجسم مناظر با کشت به طور گسترده ایجاد کرد. این روش اغلب امروزه برای تولید مناظر واقع بینانه در بازی های ویدیویی استفاده می شود. شماره 5 جکسون پوولوک

  نشان داده شده است که آثار هنری آنها دارای بعد هاسدورف قابل اندازه گیری است. من همه اینها را در راهنمایم درباره جکسون پولاک صحبت کردم.

  اگر می خواهید برخی از روش های دیگر استفاده از فراکتال ها در هنر را بررسی کنید، پست من را بررسی کنید که به عمق موضوع می پردازد.

  فراکتال ها در زیست شناسی

  علاوه بر این، فراکتال ها نقش مهمی در تحقیقات بیولوژیکی دارند. گاهی اوقات، سیستم های طبیعی می توانند از اشکال فراکتال پیروی کنند.

  به عنوان مثال، رگ های خونی ساختاری مشابه دارند. توانایی اندازه گیری شکل فراکتال آنها به دانشمندان و پزشکان ما اجازه می دهد تا درمان های بهتری برای بیماران ایجاد کنند.

  

  نورون هایی که شکل فراکتالی را نشان می دهند.

  فراکتال ها همچنین می توانند شبکه های دیگری مانند نورون ها و سیستم های عصبی حیوانات مختلف را مدل سازی کنند. رشد باکتری همچنین می تواند از پوسته پوسته شدن خود مشابه پیروی کند و بنابراین الگوهای فراکتالی را نشان می دهد.

  فراکتال ها در تصویربرداری

  یکی از رایج ترین کاربردهای فراکتال ها فشرده سازی تصویر است. داده های پیکسل در یک تصویر را می توان به عنوان یک سیستم تکراری از توابع بیان کرد. این اجازه می دهد تا ذخیره سازی تصویر به عنوان تعداد بسیار کمتری از پارامترها ثبت شود. این تصویر همچنان سریع ظاهر می شود و با هر بزرگنمایی (به دلیل خاصیت مقیاس پذیری فراکتال ها) خود را با جزئیات عالی ارائه می دهد.[4]

  چیزی بیشتر از یک فرمول تکراری ساده برای این وجود ندارد. آنقدر ساده است که اکثر کودکان می توانند کامپیوترهای خانگی خود را برای تولید مجموعه مندلبرو برنامه ریزی کنند.... عارضه حیرت انگیز آن کاملاً با آن چیزی که من انتظار داشتم نامتناسب بود. نکته عجیب اینجاست: اولین شبی که مجموعه را دیدم، فقط وحشی بود. شب دوم عادت کردم. بعد از چند شب با آن آشنا شدم. انگار قبلاً به نوعی آن را دیده بودم. البته من نداشتمهیچ کس آن را ندیده بود. هیچ کس آن را توصیف نکرده بود. این واقعیت که جنبه خاصی از ماهیت ریاضی آن با وجود صدها نفر از افراد باهوش که روی آن کار می کنند، مرموز باقی می ماند، برای من میخچه روی کیک است.

  بنوا ماندلبرو [5]

  انواع فراکتال ها در طبیعت

  حتی هنگام انجام یک فعالیت معمولی مانند قدم زدن در پارک یا جنگل، الگوهای فراکتال در بسیاری از نقاط طبیعت دیده می شود. رفتار انشعاب که به گیاهان شکلی شبیه به خود می دهد همچنین به درختان، ریشه ها، برگ ها، سرخس ها و میسلیوم قارچی تکرار فراکتال می دهد. اگر به تمام جزئیات علاقه دارید، پست من را در مورد فراکتال ها در طبیعت بررسی کنید!

  جغرافیا همچنین غالباً اشکال فراکتالی را نشان می دهد. این ارتباط کلیدی بود که کارپنتر در نرم افزار تولید چشم انداز وی ایجاد کرد. فراکتال ها را می توان در الگوهای جریانها ، رودخانه ها ، سواحل ، کوهها ، امواج ، آبشارها و قطرات آب در دنیای طبیعی یافت.

  در اینجا چند نمونه طبیعی از انواع الگوهای فراکتالی در طبیعت آورده شده است:

  1. فراکتال ها در برگ ها و گیاهان

  بسیاری از مردم هرگز آن را درک نمی کنند ، اما از آنجا که فراکتال ها در طبیعت بسیار رایج هستند ، به این معنی است که در مواد غذایی نیز رایج هستند. سیستم های گردش خون موجود در گوشت حیوانات که می خوریم ، فراکتال است و همانطور که بحث کردیم از آنجا که فراکتال ها در گیاهان رایج هستند ، الگوهای موجود در آنجا نیز وجود دارند. سالادها ، کلم بروکلی و آناناس همه نمونه های بسیار خوبی هستند.

  

  کلم بروکلی رومانسکو که الگوی فراکتالی را نشان می دهد

  درست مانند سیستم های گردش خون حیوانات ، الگوهای خودی به گیاهان اجازه می دهد تا مواد مغذی را به طور موثر توزیع کنند. آب مایع و الکترولیتهای جذب شده از طریق ساختار ریشه از طریق گیاه و مجدداً سیتوپلاسم هر سلول را دوباره هیدراته می کنند.

  نوعی کلم بروکلی معروف به کلم بروکلی رومانسکو یکی از قابل توجه ترین نمونه ها است. این شکل از کلم بروکلی دارای ساختار خارق العاده ای از اسپری ها است که از یک نقطه واحد تابش می کنند و به سنبله های خود که در نوک گیاه گسترش می یابد ، شاخه می شوند.

  2. مارپیچ های رشد

  مارپیچ های رشد ، که از توالی فیبوناچی (که به عنوان مارپیچ طلایی نیز شناخته می شود) پیروی می کنند و می توانند به عنوان یک مورد خاص از خود شفقت در نظر گرفته شوند ، همچنین حاوی الگوهای فراکتالی است. الگوی فراکتالی که به عنوان منحنی اژدها شناخته می شود ، به دنباله فیبوناچی نیز مربوط می شود زیرا بعد Hausdorff آن عدد φ (1. 61803) است. شما می توانید یاد بگیرید که این فراکتال را در پست من در مورد آن ترسیم کنید.

  3. الکتریسیته فراکتال و صاعقه

  اگر تا به حال طوفان صاعقه ای را مشاهده کرده اید ، یکی از قدرتمندترین نمایشگرهای طبیعت از فراکتال ها را از نزدیک مشاهده کرده اید.

  فراکتال الگویی است که هنگام عبور برق از واسطه ای که برق را به خوبی انجام نمی دهد (مانند هوا) تولید می شود.

  درست مانند آب در یک رودخانه ، این بار در تلاش است تا از نقطه مرتفع (در ابر) به پایین (زمین) سفر کند.

  

  رعد و برق که یک الگوی فراکتال را نشان می دهد

  از آنجا که شارژ از طریق هوا حرکت می کند ، مقاومت می شود. این مقاومت باعث می شود جریان و تقسیم شود. هنگامی که جریان از آن عبور می کند ، هوا بیش از حد گرم می شود و هوا به شدت می درخشد.

  این فرآیند برای هر سطح از تکه تکه شدن تکرار می شود تا زمانی که یک الگوی فراکتال ظهور کند. هنگامی که تصویری از اعتصاب رعد و برق یا تخلیه الکتریکی را معکوس می کنید ، خواهید فهمید که بسیار شبیه درخت است. این امر به این دلیل است که هر دو فراکتال هستند.

  آیا می خواهید در مورد یک منطقه کامل از آثار هنری که از الگوهای فراکتالی الکتریکی برای نجاری استفاده می کند ، اطلاعات بیشتری کسب کنید؟پست من را در مورد اختراع سوزاندن چوب فراکتال بررسی کنید!

  4. فراکتال ها در بدن انسان و حیوان

  

  ساختار عروق فراکتال در قلب.

  در اوایل ما چگونگی سیستم های بیولوژیکی مانند سیستم های گردش خون و سیستم های عصبی را از الگوهای فراکتال پیروی می کنیم.

  مانند چگونگی توزیع مواد مغذی در گیاهان ، این الگوهای اجازه می دهند تا این سیستم ها به سرعت عملکرد داشته باشند. یکی دیگر از مکان های رایج که در آن الگوهای فراکتال وجود دارد ، سیستم تنفسی انسان است.

  الگوی راه هوایی با یک تنه منفرد (گلو ، شبیه به یک درخت) آغاز می شود که در یک الگوی خودی شاخه می شود.

  هر شبکه کوچکتر از حفره ها دارای تنه خود است که به یک شبکه کوچکتر و کوچکتر شاخه می شود. این امر به هوا اجازه می دهد تا به طور مؤثر به جایی که لازم است سفر کند و برای دی اکسید کربن موجود در خون تغییر کند.

  5. فراکتال ها در جغرافیا، رودخانه ها و زمین

  رودخانه ها ، مانند درختان و گیاهان ، اغلب در گروه فراکتال قرار می گیرند. هنگامی که شما در نظر می گیرید که چگونه زمین تولید و آب و هوا تولید می شود ، فرسایش آب بخش قابل توجهی از چشم انداز را تشکیل می دهد. درست مانند الگوی رعد و برق ، آب با مقاومت و شکستگی های رودخانه در قسمت های مختلف مشابه قرار می گیرد.

  رودخانه ها و اجسام دیگر آب آب را به همان روشی که مایعات در بدن توزیع می شوند ، جمع آوری ، حمل و نقل و توزیع آب در سراسر یک منظره جمع می کنند. سفر آب از یک رودخانه به رودخانه ، سپس به یک دریاچه یا یک بدن بزرگ دیگر از آب ، نمونه ای عالی است. اینها همچنین مواد مغذی را به گیاهان و زمین های کشاورزی که به رودخانه بستگی دارند ، حمل می کنند.

  اگر می خواهید نقشه یا مناظر دیجیتالی خود را تولید کنید ، پست من راجع به WonderDraft را بررسی کنید! یک کامپیوتر تولید کننده نقشه تولید شده است.

  

  دلتای رودخانه ای که یک الگوی فراکتال را نشان می دهد.

  فراکتال ها و فناوری

  تلفن های همراه مدرن از شکل آنتن فراکتال برای کار در فرکانس های مختلف به طور همزمان استفاده می کنند. اشکال مختلف با نوارهای مختلف رادیویی که سیگنال های تلفن همراه را در آنتن حمل می کنند ، ارتباط دارد.

  از آنجا که این شکل ها در یکدیگر جمع می شوند ، چندین فرکانس متفاوت می توانند به طور همزمان در یک تلفن همراه استفاده شوند.

  بر اساس تحقیقات انجام شده، آنتن های فراکتال از آنتن های استاندارد شکل بهتر عمل می کنند، مانند آنتن قدیمی شلاقی که قبلاً روی اتومبیل ها نصب می شد. اگر می خواهید در مورد این موضوع بیشتر بدانید، پست من را در مورد نحوه استفاده از فراکتال ها در فناوری بررسی کنید.

  هنر فراکتالی فانتزی خود را می خواهید؟- من شما را پوشانده ام!

  بیشترین آثار هنری ، لباس و تخت سگ را کشف کنید. وقت خود را برای جستجوی گزینه های کمتر هیجان انگیز متوقف کنید! دوستان و عزیزان خود را در حین حمایت از سایت تحت تأثیر قرار دهید

  سرگرمی فراکتال را پیدا کنید!

  

  فشرده سازی تصویر فراکتال به عنوان راهی برای تقویت الگوریتم JPEG مورد مطالعه قرار گرفته است. روش استفاده شده توسط JPEG، تبدیل کسینوس گسسته نامیده می شود که اطلاعات تصویر را از نظر فرکانس به جای مقادیر پیکسل نشان می دهد. از آنجایی که کسینوس ها از نظر شکل خود مشابه هستند، می توان از الگوریتم های فشرده سازی تصویر فراکتال برای تشخیص الگوهای مقیاس بندی استفاده کرد. سپس این الگوهای مقیاس بندی می توانند همان اطلاعات فرکانس را به عنوان مجموعه ای کوچکتر از پارامترها برای یک سیستم عملکرد تکرار شده بیان کنند.[4]

  از فشرده سازی تصویر فراکتال نیز در فشرده سازی داده های ماهواره ای استفاده می شود. اگر می توانید الگوهای تکراری را در داده ها بیابید، می توانید از معادلات فراکتال برای خلاصه کردن آنها استفاده کنید، که سریع تر از هر پیکسل در تصویر خام به صورت بی سیم ارتباط برقرار می کنند.

  برای درک ماهیت فراکتال ها، مانیفست باشکوه گالیله را به خاطر بیاورید که «فلسفه به زبان ریاضیات نوشته شده است و شخصیت های آن مثلث، دایره و سایر اشکال هندسی هستند که بدون آن ها در هزارتوی تاریک پرسه می زنید». مشاهده کنید که دایره ها، بیضی ها و سهمی ها اشکال بسیار صافی هستند و یک مثلث دارای تعداد کمی از نقاط نامنظم است. گالیله کاملاً درست می گفت که در علم آن اشکال ضروری هستند. اما معلوم شد که آنها کافی نیستند، «صرفاً» به این دلیل که بیشتر نقاط جهان دارای ناهمواری و پیچیدگی بی نهایت زیادی هستند. با این حال، دریای بیکران پیچیدگی شامل دو جزیره است: یکی از سادگی اقلیدسی، و دیگری از سادگی نسبی که در آن ناهمواری وجود دارد، اما در همه مقیاس ها یکسان است.

  بنوا ماندلبرو [6]

  شناخته شده ترین فراکتال ها:

  دو فراکتال معروف عبارتند از The Mandelbrot Set و The Julia Sets.

  مجموعه ماندلبروت

  مجموعه Mandelbrot که توسط Benoit Mandelbrot ساخته شده است، شناخته شده ترین فراکتال در ریاضیات پیشرفته است که به دلیل زیبایی مسحورکننده آن است. از سال 1980، این مجموعه به عنوان منبع الهام برای هنرمندان، هیبت برای بچه ها، و یک زمین آزمایش سازنده برای علم دینامیک آشفته خدمت کرده است.

  این مجموعه یک خلاقیت ریاضی است که از یک مجموعه نامتناهی به ظاهر عجیب و غریب تشکیل شده است که روی صفحه اعداد مختلط متمرکز شده است. در سال 1978 رابرت دبلیو بروکس و پیتر ماتلسکی این مجموعه را به عنوان بخشی از مطالعه گروه های کلینی تعریف و ترسیم کردند. پس از آن، در سال 1980، زمانی که در مرکز تحقیقاتی توماس جی واتسون آی بی ام در یورک تاون هایتس، نیویورک کار می کرد، بنوا ماندلبروت تصاویری باکیفیت از مجموعه خلق کرد.

  Mandelbrot در اصل از چاپگر خود برای ارائه تصاویر استفاده می کرد. ماندلبروت در حین بررسی رابطه با جولیا ست، ابتدا معتقد بود که چاپگر خطاهایی را ارائه می دهد! ما اکنون این مجموعه ها را با نام «فاتو داست» می شناسیم.

  

  مرز ست ماندلبروت با سبک قرمز، سفید و آبی.

  تصاویر مجموعه مندلبرو دارای مرز پیچیده و بی نهایت پیچیده ای هستند. در داخل مرز (نقاط سیاه) مربوط به مکان هایی است که دینامیک تابع تکرار شونده پایدار است و به یک شکل واحد همگرا می شود. در خارج از مرز (مناطق چند رنگ) پویایی ناپایدار است و تا بی نهایت رشد می کند.

  از آنجایی که نقاطی که می توان انتخاب کرد، اعداد واقعی هستند که می توان آنها را دلخواه کوچک کرد، بزرگ نمایی می تواند برای همیشه با جزئیات بیشتر افزایش یابد. مرز مجموعه مندلبرو یک منحنی فراکتال ایجاد می کند.

  اگر می خواهید در مورد مجموعه ماندلبروت بیشتر بدانید، پست من را در مورد معروف ترین فراکتال بررسی کنید!

  در خارج از سالن های دپارتمان های دانشگاهی، مجموعه ماندلبرو به خاطر تجسم های زیبا و منحصربه فردش شناخته شده است. این نمونه ای از گرفتن یک تابع بازگشتی مانند معادله ساده ماندلبروت و رشد یک ساختار پیچیده با اعمال چند قانون ساده است.

  

  نمونه ای از ست جولیا ثابت با استایل قرمز، سفید و آبی.

  مجموعه جولیا اس

  مجموعه جولیا یکی دیگر از فراکتال های شناخته شده است که ارتباط نزدیکی با مجموعه ماندلبرو دارد. ست های جولیا به طور قابل ملاحظه ای قدیمی تر از مجموعه ماندلبروت هستند زیرا به نام گاستون جولیا نامگذاری شده اند. ما تحقیقات او را در مورد تکرار چندجمله ای در اوایل قرن بیستم پوشش دادیم.

  مجموعه های جولیا حاوی نقاطی هستند که در آن تکرار عملکرد مکرر پایدار است. برای سیستم های گسسته خطی ، این مجموعه در داخل دایره واحد در صفحه پیچیده قرار دارد. شکل یک مجموعه جولیا به پارامتر شرایط اولیه بستگی دارد که برای معادله غیرخطی انتخاب شده است.

  مجموعه Mandelbrot یک طرح از این پارامترهای شرط اولیه است و مقادیر آن مجموعه های جولیا را با شکل های پایدار (متصل) تولید می کنند. اگر آنها ناپایدار باشند ، شکل گرد و غبار فاتو قطع می شود.

  تکنیک های مشترک تولید فراکتال

  موارد زیر سه روش اساسی برای ایجاد فراکتال است:

  1. فراکتال های زمان فرار

  این نوع فراکتال توسط یک معادله پویا به صورت بازگشتی کاربردی تولید می شود. برخی از نمونه های این نوع قبلاً مورد بحث قرار گرفته است و مجموعه های جولیا و مجموعه Mandelbrot است.

  سایر موارد موجود در این گروه شامل سوزاندن کشتی فراکتال و لیاپونوف فراکتال است. این معادلات اغلب در فضای ورودی مانند صفحه پیچیده تعریف می شوند.

  2. سیستم های تابع تکراری

  سیستم های عملکرد تکرار شده (IFS) دارای یک قانون جایگزینی هندسی هستند که ثابت است. Fractals IFS شامل فرش Sierpinski ، مجموعه کانتور ، منحنی Peano ، Gasket Sierpinski ، منحنی اژدها Harter-Heighway ، T-Square ، Koch Snowflake و Menger Sponge است. این فراکتال ها همچنین نوع تولید شده توسط برنامه های تجسم مانند Chaotica هستند.

  3. فراکتال های تصادفی

  کلاس دیگری از اشکال فراکتال از فرآیندهای تصادفی (تصادفی) سرچشمه می گیرد. این فرایندها نوعی مورد بررسی توسط مشاور Mandelbrot ، پل لوی و پوشش Brownian Motion ، Lévy Flight و قوانین قدرت قرار گرفت.

  به نظر می رسد حرکات تصادفی در میان بزرگی ها و مقیاس های زمانی یکسان و شبیه خود هستند. متداول ترین نمونه های این نوع فراکتال قیمت سهام و دارایی های مالی است.

  

  قیمت سهام ، به عنوان نمونه ای از حرکت Brownian Fractal

  سؤالات متداول فراکتال:

  آیا انسان ها فراکتال هستند؟

  انسان ها ساختارهای فراکتالی در بدن ما دارند. مانند بسیاری از حیوانات ، نورون های ما ، رگ های خونی ما و سیستم تنفسی ما همه ساختارهای شبیه درخت مانند را تشکیل می دهند. این ساختارها سازندهای فراکتالی هستند که به طور طبیعی تکامل یافته اند تا عملکرد آنها را در مقیاس های مختلف تقویت کنند. این ساختارها همچنین به صورت بازگشتی ایجاد شده اند که توسط هر سلول مطابق دستورالعمل های موجود در DNA انسانی تولید می شود.

  بهترین مکان ها برای جستجوی فراکتال ها کدامند؟

  به اطراف خود نگاه کنید ، فراکتال ها الگوهای پیچیده ای هستند که در سراسر کره زمین یافت می شوند و می توانید آنها را در زندگی روزمره خود ببینید. در شب می توانید به ستاره ها نگاه کنید و اشکال فراکتالی کهکشان ها را ببینید. در ساحل ، می توانید الگوهای فراکتالی را در بافت صدف دریایی مشاهده کنید.

  فراکتال های سه بعدی چیست؟

  برای فراکتال های 2D مانند شکل مجموعه Mandelbrot ، می توان از یک سیستم مختصات کروی سه بعدی برای ایجاد یک فراکتال سه بعدی معادل استفاده کرد. مجموعه در 2D برای تولید شکل در سیستم مختصات سه بعدی پیش بینی شده است. درست مانند فراکتال های 2D ، فراکتال های سه بعدی به بیننده اجازه می دهند تا بی نهایت بزرگنمایی کند زیرا شکل فراکتال خودی از بالا و پایین مقیاس می شود.

  افکار نهایی تاریخ فراکتال

  به طور کلی ، تحقیق در مورد فراکتال موضوعی چالش برانگیز و در عین حال جذاب ریاضیات است. با وجود تمام پیچیدگی های آنها ، آنها همچنان ابزاری مفید برای مدل سازی سیستم های طبیعی و هرج و مرج هستند. امیدوارم با کمک این مقاله ، اکنون دانش عمیقی از تاریخ فراکتال ها داشته باشید.

  هنگامی که مقاله های مشابهی را منتشر می کنیم ، مطلع شوید

  منابع

  1. Eglash ، Ron."فراکتال ها در معماری شهرک آفریقا."پیچیدگی 4. 2 (1998): 21-29.
  2. وانت ، کلیفورد A. کتاب ریاضی: از فیثاگوراس تا بعد 57 ، 250 نقطه عطف در تاریخ ریاضیات. شرکت انتشارات استرلینگ ، شرکت ، 2009.
  3. Mandelbrot ، Benoit B. ، و Benoit B. Mandelbrot. هندسه فراکتال طبیعت. جلد1. نیویورک: WH فریمن ، 1982.
  4. Gupta ، R. ، D. Mehrotra و R. K. Tyagi."فشرده سازی تصویر فراکتال بدون جستجو در دامنه DCT."مجله علوم تصویربرداری 64. 7 (2016): 374-380.
  5. Mandelbrot ، Benoit و Valerie Jamieson."یک زندگی فراکتال". دانشمند جدید 2473 (2004): 50-52.
  6. اوبریست ، هانس اولریش."پدر دمهای بلند."مصاحبه با بنوتی ماندلبروت (2008).

  پیام بگذاریدلغو پاسخ

  برای ارسال نظر باید وارد سیستم شوید.

  

  گزارش این تبلیغ

  ناراحتی

  NNART برای هر کسی که می خواهد در مورد هنر مبتنی بر رایانه اطلاعات بیشتری کسب کند ، یک منبع عالی است.

  من مقالات مفیدی را منتشر می کنم که مملو از اطلاعاتی از جمله راهنما ، سؤالات متداول ، تاریخ و موارد دیگر است! از مبتدیان گاه به گاه گرفته تا جانبازان گریزل ، جایی برای همه وجود دارد.

  من در تلاش هستم که قدردانی و کاوش در انواع مختلف هنر الگوریتمی را فعال کنم. من همیشه مقالات ، قطعات جدید و نوآورانه و اطلاعات مفید را اضافه می کنم ، بنابراین امروز آن را بررسی کنید!

  report this ad report this ad report this ad

  

  گزارش این تبلیغ

  • شرایط و ضوابط
  • سیاست حفظ حریم خصوصی