سیستم عددی دودویی

سیستم عددی باینری ، یا سیستم شماره Base-2 ، مقادیر عددی را با استفاده از دو نماد ، معمولاً 0 و 1 نشان می دهد. به طور خاص ، سیستم پایه 2 معمول یک نماد موقعیتی با Radix از 2 است. به دلیل اجرای ساده آن در الکترونیکی دیجیتالمدار با استفاده از دروازه های منطق ، سیستم باینری توسط همه رایانه های مدرن در داخل استفاده می شود.

فهرست

تاریخ

مجموعه ای کامل از هشت trigrams و 64 hexagrams ، مشابه با شماره های باینری سه بیتی و شش بیتی ، از طریق متن کلاسیک I Ching به چینی های باستان شناخته شده بود. ترتیب هگزاگرام های من ، که مطابق با مقادیر اعداد باینری مربوطه (از 0 تا 63) سفارش داده شده است ، و روشی برای تولید آنها ، توسط محقق و فیلسوف چینی شائو یونگ در قرن یازدهم تهیه شده است. با این حال ، هیچ مدرکی مبنی بر اینکه شائو محاسبه باینری را درک کرده است ، وجود ندارد. سفارش همچنین نظم واژگانی در قسمتهای عناصر انتخاب شده از یک مجموعه دو عنصر است.

نویسنده هندی پینگالا (حدود 200 سال قبل از میلاد) مفاهیم ریاضی پیشرفته ای را برای توصیف تجسس تهیه کرد و با انجام این کار اولین توصیف شناخته شده از یک سیستم عددی باینری را ارائه داد.[1] [2]

مجموعه های مشابهی از ترکیب های باینری نیز در سیستم های سنتی الهی آفریقا مانند IFá و همچنین در ژئومسی غربی قرون وسطایی مورد استفاده قرار گرفته است. سیستم Base-2 مورد استفاده در ژئومنسی مدتهاست که در کشورهای جنوب صحرای آفریقا به طور گسترده ای اعمال می شد.

در سال 1605 فرانسیس بیکن در مورد سیستمی بحث کرد که توسط آن می توان حروف الفبا را به توالی رقم های باینری کاهش داد ، که می تواند به عنوان تغییرات به سختی قابل مشاهده در قلم در هر متن تصادفی رمزگذاری شود. مهمتر از همه برای تئوری کلی رمزگذاری باینری ، وی افزود که این روش می تواند با هر اشیاء به هیچ وجه مورد استفاده قرار گیرد: "به شرط آنکه این اشیاء فقط بتوانند تفاوت دو برابر داشته باشند ؛ همانطور که توسط زنگ ها ، توسط ترومپت ها ، توسط چراغ ها و مشعل ها ، توسط گزارشمشک و هر ابزاری از طبیعت ".[3] (به رمزنگاری بیکن مراجعه کنید.)

سیستم شماره باینری مدرن در قرن 17 در مقاله خود توسط گوتفرید لایب نیتس به طور کامل ثبت شد. سیستم Leibniz از 0 و 1 استفاده می کند ، مانند سیستم عددی باینری مدرن. به عنوان یک سینوفیل ، لایب نیتس از من آگاه بود و با جذابیت خاطرنشان می کرد که چگونه شش ضلعی آن با شماره های باینری از 0 تا 111111 مطابقت دارد ، و نتیجه گرفت که این نقشه برداری شواهدی از دستاوردهای مهم چینی در نوع ریاضیات فلسفی است که او تحسین می کرد.[4]

در سال 1854 ، جورج بول ، ریاضیدان بریتانیایی ، مقاله ای را منتشر کرد که جزئیات یک سیستم جبری از منطق را که به عنوان جبر بولی شناخته می شود ، منتشر کرد. حساب منطقی او این بود که در طراحی مدار الکترونیکی دیجیتال نقش مهمی داشته باشد.

در سال 1937 ، کلود شانون پایان نامه کارشناسی ارشد خود را در MIT تولید کرد که جبر بولی و حسابی باینری را با استفاده از رله های الکترونیکی و سوئیچ ها برای اولین بار در تاریخ اجرا کرد. با عنوان تجزیه و تحلیل نمادین از مدارهای رله و سوئیچینگ ، پایان نامه شانون اساساً طراحی مدار دیجیتال عملی را تأسیس کرد.

در نوامبر سال 1937 ، جورج استیبیتز ، سپس در بل آزمایشگاه ها مشغول به کار بود ، یک کامپیوتر مبتنی بر رله را به پایان رساند که "مدل K" (برای "K itchen" ، جایی که او آن را مونتاژ کرده بود) لقب داد ، که با استفاده از باینری علاوه بر این محاسبه شد. Bell Labs بنابراین یک برنامه تحقیقاتی کامل را در اواخر سال 1938 با استیبیتز در راس مجاز کرد. رایانه شماره پیچیده آنها ، که در 8 ژانویه 1940 به پایان رسید ، توانست تعداد پیچیده ای را محاسبه کند. در تظاهرات کنفرانس جامعه ریاضی آمریکا در کالج دارتموث در 11 سپتامبر 1940 ، استیبیتز توانست دستورات از راه دور با شماره تلفن را از طریق تلفن از طریق تلفن ارسال کند. این اولین دستگاه محاسباتی بود که از راه دور از طریق خط تلفن استفاده می شد. برخی از شرکت کنندگان این کنفرانس که شاهد این تظاهرات بودند ، جان فون نویمان ، جان ماوچلی و نوربرت وینر بودند که در خاطرات خود درباره آن نوشتند.

نمایندگی

یک عدد باینری را می توان با هر دنباله ای از بیت ها (رقم های باینری) نشان داد ، که به نوبه خود ممکن است توسط هر مکانیسمی که قادر به قرار گرفتن در دو حالت منحصر به فرد باشد ، نشان داده شود. توالی زیر از نمادها همه می توانند به عنوان مقدار عددی باینری 667 تعبیر شوند:

یک ساعت باینری ممکن است از LED برای بیان مقادیر باینری استفاده کند. در این ساعت ، هر ستون LED ها یک عدد اعشاری با دودویی از زمان سکسژیمال سنتی را نشان می دهد.

مقدار عددی نشان داده شده در هر مورد به مقدار اختصاص داده شده به هر نماد بستگی دارد. در یک رایانه ، مقادیر عددی ممکن است توسط دو ولتاژ مختلف نشان داده شود. در دیسک مغناطیسی ، ممکن است از قطب های مغناطیسی استفاده شود. حالت "مثبت" ، "بله" یا "در" لزوماً معادل ارزش عددی یک نیست. بستگی به معماری مورد استفاده دارد.

مطابق با بازنمایی عرفی اعداد با استفاده از اعداد عربی ، اعداد باینری معمولاً با استفاده از نمادهای 0 و 1 نوشته می شوند. در هنگام نوشتن ، اعداد باینری اغلب به منظور نشان دادن پایه یا رادیوس خود ، به اشتراک گذاشته می شوند ، پیشوند یا پسوند می شوند. نمادهای زیر معادل هستند:

100101 باینری (بیانیه صریح قالب) 100101B (پسوند نشانگر فرمت باینری) 100101B (پسوند نشانگر فرمت باینری) سطل 100101 (پیشوند نشانگر قالب باینری) 100101₂.

در صورت تبدیل با استفاده از Google ، از نماد نهایی استفاده می شود. به عنوان مثال در جستجوی شمارش در باینری

شمارش در باینری شبیه به شمارش در هر سیستم شماره دیگر است. با شروع یک رقم واحد ، شمارش از طریق هر نماد ، به ترتیب افزایش می یابد. شمارش اعشاری از نمادهای 0 تا 9 استفاده می کند ، در حالی که باینری فقط از نمادهای 0 و 1 استفاده می کند.

هنگامی که نمادهای رقم اول خسته می شوند ، رقم بلند بعدی (به سمت چپ) افزایش می یابد و شمارش از 0 از 0 شروع می شود.

000 ، 001 ، 002 ،. 007 ، 008 ، 009 ، (راست ترین رقم شروع می شود و رقم بعدی افزایش می یابد) 0 1 0 ، 011 ، 012 ،. بشر090 ، 091 ، 092 ،. 097 ، 098 ، 099 ، (راست ترین دو رقم از آن شروع می شود و رقم بعدی افزایش می یابد) 1 00 ، 101 ، 102 ،.

پس از رسیدن یک رقم به 9 ، افزایش آن به 0 بازگردانده می شود اما باعث افزایش رقم بعدی به سمت چپ می شود. در باینری ، شمارش یکسان است به جز اینکه فقط از دو نماد 0 و 1 استفاده می شود. بنابراین پس از رسیدن یک رقم به 1 باینری ، افزایش آن به 0 بازنشانی می شود اما باعث افزایش رقم بعدی به سمت چپ می شود:

0000 ، 000 1 ، (راست ترین رقم شروع می شود ، و رقم بعدی افزایش می یابد) 00 1 0 ، 0011 ، (راست ترین دو رقم شروع می شود و رقم بعدی افزایش می یابد) 0 1 00 ، 0101 ، 0110 ، 0111 ، (راست ترین سه رقمشروع کنید ، و رقم بعدی افزایش می یابد) 1 000 ، 1001 ،.

راه دیگر برای شمارش در کدهای باینری ، مشاهده هر رقم به عنوان قدرت 2 است زیرا هر رقم فقط می تواند حداکثر دو عدد ، 0 و 1 را فراهم کند ، می توان هر رقم را به عنوان سوئیچ مشاهده کرد.

این سوئیچ می تواند روشن یا خاموش باشد (1 یا 0). یک سوئیچ حداکثر 2 نتیجه (1 و 0) به شما می دهد. اگر سوئیچ دیگری اضافه کنید ، حداکثر مقدار 2 2 = 4 نتیجه را دریافت خواهید کرد (00 ، 01 ، 10 ، 11). اگر سه سوئیچ داشته باشید ، حداکثر مقدار 2 3 = 8 نتیجه و غیره را دریافت خواهید کرد.

در این حالت ، هر بار که از رقم دیگری استفاده می شود ، شماره ای که کد باینری نشان می دهد با قدرت 2 افزایش یافته است.

For example, what is 13 in binary numbers? Since 16> 13 ≥ 8 (or 2 4>13 ≥ 2 3) ، ما می دانیم که بالاترین رقم 8 را نشان می دهد ، و می دانیم "01000" 8 را نشان می دهد (توجه داشته باشید که 0 در مقابل 1 غیر ضروری است).

Since "01000" represents 8, 13−8 = 5. Since 8> 5 ≥ 4 (or 2 3>5 ≥ 2 2) ، ما می دانیم که باید 4 را اضافه کنیم. از آنجا که "00100" 4 ، 8 + 4 = 12 = "01000" + "00100" = "01100" را نشان می دهد.

از آنجا که شماره ای که می خواهیم نمایندگی کنیم 13 ، 13-12 = 1 است ، بنابراین ما باید به آن اضافه کنیم. 1 "00001" به صورت باینری است ، بنابراین "01100" + "00001" = "01101" = 13.

بنابراین 13 در تعداد باینری 01101 است.

حسابی دوتایی

حسابی در باینری در سایر سیستم های شماره مانند حسابی است. علاوه بر این ، تفریق ، ضرب و تقسیم می تواند بر روی اعداد باینری انجام شود.

افزودن

نمودار مدار برای یک نیمی از باینری ، که دو بیت را با هم اضافه می کند ، جمع می کند و بیت های حمل می کند.

ساده ترین عملیات حسابی در باینری علاوه بر این است. اضافه کردن دو عدد باینری تک رقمی نسبتاً ساده است ، با استفاده از نوعی حمل:

0 + 0 → 0 0 + 1 → 1 1 + 0 → 1 1 + 1 → 0 ، 1 را حمل کنید (از 1 + 1 = 0 + 1 × 10 به صورت باینری)

اضافه کردن دو رقم "1" یک رقم "0" تولید می کند ، در حالی که 1 باید به ستون بعدی اضافه شود. این شبیه به آنچه در اعشاری اتفاق می افتد هنگامی که برخی از اعداد تک رقمی به هم اضافه می شوند. اگر نتیجه برابر باشد یا از مقدار Radix (10) فراتر رود ، رقم در سمت چپ افزایش می یابد:

5 + 5 → 0 ، 1 (از 5 + 5 = 0 + 1 × 10) 7 + 9 → 6 ، حمل 1 (از 7 + 9 = 6 + 1 × 10)

این به عنوان حمل شناخته می شود. هنگامی که نتیجه یک افزودنی از مقدار یک رقم فراتر رود ، روش "حمل" مقدار اضافی تقسیم شده توسط Radix (یعنی 10/10) به سمت چپ است و آن را به مقدار موقعیت بعدی اضافه می کند. این درست است زیرا موقعیت بعدی دارای وزنی است که با عاملی برابر با Radix بیشتر است. حمل و نقل به همان روش باینری:

در این مثال ، دو عدد با هم اضافه می شوند: 01101₂(13₁₀) و 10111₂(23₁₀). ردیف بالا بیت های حمل مورد استفاده را نشان می دهد. با شروع در سمت راست ترین ستون ، 1 + 1 = 10₂بشر1 به سمت چپ حمل می شود و 0 در پایین ستون سمت راست نوشته شده است. ستون دوم از سمت راست اضافه می شود: 1 + 0 + 1 = 10₂از نو؛1 حمل می شود و 0 در پایین نوشته شده است. ستون سوم: 1 + 1 + 1 = 11₂بشراین بار 1 حمل می شود و 1 در ردیف پایین نوشته شده است. ادامه این کار پاسخ نهایی 100100 را می دهد₂(36 اعشاری).

هنگامی که رایانه ها باید دو عدد را اضافه کنند ، این قاعده که: x xor y = (x + y) mod 2 برای هر دو بیت x و y امکان محاسبه بسیار سریع را نیز فراهم می کند.

منها کردن

تفریق تقریباً به همان روش کار می کند:

0 - 0 → 0 0 - 1 → 1 ، وام 1 1 - 0 → 1 1 - 1 → 0

تفریق یک رقم "1" از رقم "0" رقم "1" را تولید می کند ، در حالی که 1 باید از ستون بعدی کم شود. این به عنوان وام شناخته شده است. اصل همان حمل است. هنگامی که نتیجه تفریق کمتر از 0 ، کمترین مقدار یک رقم است ، روش "قرض گرفتن" کسری تقسیم شده توسط رادیو (یعنی 10/10) از سمت چپ است و آن را از موقعیت بعدی کم می کندارزش.

کم کردن یک عدد مثبت معادل اضافه کردن تعداد منفی از مقدار مطلق برابر است. رایانه ها به طور معمول از نماد مکمل دو برای نشان دادن مقادیر منفی استفاده می کنند. این نماد نیاز به یک عملیات جداگانه "تفریق" را از بین می برد. با استفاده از تفریق نماد مکمل Two می توان با فرمول زیر خلاصه شد:

a - b = a + نه b + 1

برای اطلاعات بیشتر ، به مکمل دو مراجعه کنید.

ضرب

ضرب در باینری شبیه به همتای اعشاری آن است. دو عدد A و B را می توان با محصولات جزئی ضرب کرد: برای هر رقم در B ، محصول آن رقم در A محاسبه و روی یک خط جدید نوشته شده است ، به سمت چپ تغییر می کند تا خط راست آن با رقم در B که بوداستفاده شده. مجموع این محصولات جزئی نتیجه نهایی را می دهد.

از آنجا که فقط دو رقم در باینری وجود دارد ، فقط دو نتیجه ممکن از هر ضرب جزئی وجود دارد:

• اگر رقم در B 0 باشد ، محصول جزئی نیز 0 است
• اگر رقم در B 1 باشد ، محصول جزئی برابر با a است

به عنوان مثال ، شماره های باینری 1011 و 1010 به شرح زیر ضرب می شوند:

اعداد باینری نیز می توانند پس از یک نقطه باینری با بیت ها ضرب شوند:

همچنین به الگوریتم ضرب غرفه مراجعه کنید.

بخش

تقسیم باینری دوباره شبیه به همتای اعشاری آن است:

در اینجا ، تقسیم کننده 101 است₂، یا 5 اعشاری ، در حالی که سود سهام 11011 است₂، یا 27 اعشاری. این روش همانند تقسیم طولانی اعشاری است. در اینجا ، تقسیم کننده 101₂به سه رقم اول 110 می رود₂از سود سهام یک بار، بنابراین یک "1" در خط بالایی نوشته می شود. این نتیجه در مقسوم علیه ضرب می شود و از سه رقم اول سود سهام کم می شود. رقم بعدی (یک "1") برای به دست آوردن یک دنباله سه رقمی جدید گنجانده شده است:

سپس این روش با دنباله جدید تکرار می شود و تا زمانی که ارقام سود سهام تمام شود ادامه می یابد:

بنابراین، ضریب 11011₂تقسیم بر 101₂101 است₂همانطور که در خط بالا نشان داده شده است، در حالی که باقیمانده که در خط پایین نشان داده شده است، 10 است₂. در اعشار، 27 تقسیم بر 5 برابر با 5 است و مابقی آن 2 است.

عملیات بیتی

اگرچه به طور مستقیم با تفسیر عددی نمادهای باینری مرتبط نیست، توالی بیت ها ممکن است با استفاده از عملگرهای منطقی بولی دستکاری شوند. هنگامی که یک رشته از نمادهای باینری به این روش دستکاری می شود، عملیات بیتی نامیده می شود. عملگرهای منطقی AND، OR و XOR ممکن است بر روی بیت های مربوطه در دو عدد باینری ارائه شده به عنوان ورودی انجام شوند. عمل منطقی NOT ممکن است بر روی بیت های جداگانه در یک عدد دودویی ارائه شده به عنوان ورودی انجام شود. گاهی اوقات، چنین عملیاتی ممکن است به عنوان میانبرهای حسابی مورد استفاده قرار گیرد و ممکن است مزایای محاسباتی دیگری نیز داشته باشد. به عنوان مثال، یک جابجایی حسابی به چپ یک عدد باینری، معادل ضرب در توان (مثبت، انتگرال) 2 است.

تبدیل به و از سیستم های اعداد دیگر

اعشاری

برای تبدیل از یک عدد صحیح پایه 10 به معادل پایه 2 (دودویی) آن، عدد بر دو تقسیم می شود و باقیمانده بیت کم اهمیت است. نتیجه (عدد صحیح) دوباره بر دو تقسیم می شود، باقی مانده آن بیت مهم بعدی است. این روند تا زمانی که نتیجه تقسیم بعدی صفر شود تکرار می شود.

تبدیل از پایه 2 به پایه 10 با اعمال الگوریتم قبلی، به اصطلاح، به صورت معکوس انجام می شود. بیت های عدد باینری یکی یکی استفاده می شوند و با مهم ترین بیت شروع می شوند. با شروع با مقدار 0، مقدار قبلی را به طور مکرر دو برابر کنید و بیت بعدی را اضافه کنید تا مقدار بعدی تولید شود. این را می توان در یک جدول چند ستونی سازماندهی کرد. به عنوان مثال برای تبدیل 10010101101₂به اعشار:

نتیجه 1197 است₁₀. این روش کاربردی از طرح هورنر است.

قسمتهای کسری یک عدد با روشهای مشابه تبدیل می شوند. آنها دوباره مبتنی بر هم ارزی تغییر با دو برابر شدن یا نصف هستند.

در یک عدد باینری کسری مانند . 11010110101₂, the first digit is frac end" />, the second (frac)^2 = frac end" />, etc. So if there is a 1 in the first place after the decimal, then the number is at least frac end" />، و بالعکس. دو برابر این تعداد حداقل 1 است. این الگوریتم را نشان می دهد: بارها و بارها تعداد تبدیل شده را دو برابر کنید ، اگر نتیجه حداقل 1 باشد ، ضبط کنید و سپس قسمت عدد صحیح را دور بیندازید.

₁₀، در باینری ،:

تبدیل کننده	نتیجه
	0.
	0.0
	0. 01
	0. 010
	0. 0101

بنابراین کسر اعشاری تکرار شده 0. معادل کسر باینری تکرار 0 است.

یا به عنوان مثال ، 0. 1₁₀، در باینری ،:

این همچنین یک کسر باینری مکرر 0. 0 است. بشرممکن است جای تعجب داشته باشد که خاتمه بخش های اعشاری می تواند گسترش های مکرر در باینری داشته باشد. به همین دلیل است که بسیاری از آنها شگفت زده می شوند که 0. 1 +.+ 0. 1 ، (10 اضافات) در حسابی نقطه شناور با 1 متفاوت است. در حقیقت ، تنها کسری باینری با گسترش فسخ به شکل یک عدد صحیح است که توسط یک قدرت 2 تقسیم می شود ، که 1/10 نیست.

تبدیل نهایی از کسری باینری به اعشاری است. تنها مشکل با تکرار کسری بوجود می آید ، اما در غیر این صورت روش تغییر کسری به یک عدد صحیح ، تبدیل آن مانند بالا ، و سپس با قدرت مناسب دو در پایه اعشاری تقسیم می شود. مثلا:

	=	1100	. 1
	=	1100101110	.
	=	11001	.
	=	1100010101
	=	(789/62)10

روش دیگر برای تبدیل از باینری به اعشاری ، که اغلب برای شخصی که با شش ضلعی آشنا است ، سریع تر این است که این کار را به صورت غیرمستقیم انجام دهید - اولین تبدیل (به صورت باینری) به (در شش ضلعی) و سپس تبدیل (در شش ضلعی) به (در اعشاری).

برای تعداد بسیار زیاد ، این روشهای ساده ناکارآمد هستند زیرا تعداد زیادی از ضرب یا بخش هایی را انجام می دهند که در آن یک عمل بسیار بزرگ است. یک الگوریتم تقسیم و تسخیر ساده به صورت مجانبی مؤثرتر است: با توجه به یک عدد باینری ، با 10 K تقسیم می شود ، جایی که K انتخاب می شود به گونه ای که مقدار تقریباً برابر با باقیمانده باشد. سپس هر یک از این قطعات به اعشاری تبدیل می شوند و این دو به هم پیوسته اند. با توجه به تعداد اعشاری ، می توان آن را به دو قطعه با همان اندازه تقسیم کرد که هر یک از آنها به باینری تبدیل می شود ، پس از آن اولین قطعه تبدیل شده توسط 10 K ضرب می شود و به قطعه تبدیل شده دوم اضافه می شود ، جایی که k تعداد k استرقم اعشاری در قطعه دوم ، حداقل مهم قبل از تبدیل.

شش ضلعی

باینری ممکن است تا حدودی راحت تر به شش ضلعی تبدیل شود. این امر به این دلیل است که رادیو سیستم شش ضلعی (16) قدرت رادیو سیستم باینری است (2). به طور خاص ، 16 = 2 4 ، بنابراین چهار رقم باینری طول می کشد تا یک رقم از شش ضلعی را نشان دهد.

جدول زیر هر رقم شش ضلعی را به همراه مقدار اعشاری معادل و دنباله دودویی چهار رقمی نشان می دهد:

برای تبدیل یک عدد شش ضلعی به معادل باینری خود ، به سادگی رقم های باینری مربوطه را جایگزین کنید:

برای تبدیل یک عدد باینری به معادل شش ضلعی خود ، آن را به گروه های چهار بیت تقسیم کنید. اگر تعداد بیت ها چند برابر نیست ، به سادگی 0 بیت اضافی را در سمت چپ قرار دهید (به نام padding). مثلا:

1010010₂= 0101 0010 با padding = 52 گروه بندی شده است₁₆11011101₂= 1101 1101 گروه = DD₁₆

برای تبدیل یک عدد شش ضلعی به معادل اعشاری آن ، معادل اعشاری هر رقم شش ضلعی را با قدرت مربوط به 16 ضرب کنید و مقادیر حاصل را اضافه کنید:

c0e7₁₆= (16 × 16 3) + (0 × 16 2) + (16 × 16 1) + (7 × 16 0) = (40 × 4096) + (25 × 256) + (16 14 14) + (7 ×1) = 49،383₁₀

هشتاد

باینری نیز به راحتی به سیستم عددی اکتال تبدیل می شود ، زیرا اکتال از Radix 8 استفاده می کند ، که قدرت دو آن است (یعنی 2 3 ، بنابراین برای نشان دادن یک رقم اکتال دقیقاً سه رقم باینری طول می کشد). مکاتبات بین اعداد اکتال و باینری همان هشت رقم اول شش ضلعی در جدول فوق است. 000 باینری معادل رقم اکتال 0 ، باینری 111 معادل اکتال 7 و غیره است.

تبدیل از اکتال به باینری به همان روشی که برای شش ضلعی انجام می شود:

و از باینری تا اکتال:

101100₂= 101 100₂گروه بندی = 54₈10011₂= 010 011₂گروه بندی شده با بالشتک = 23₈

و از اکتال به اعشاری:

65₈= (8 × 8 1) + (5 × 8 0) = (8 6 6) + (1 5 5) = 53₁₀127₈= (1 × 8 2) + (2 × 8 1) + (8 × 8 0) = (6 × 64) + (8 × 8) + (1 7 7) = 87₁₀

نمایندگی اعداد واقعی

غیر اینتگرها را می توان با استفاده از قدرتهای منفی ، که از سایر رقم ها با استفاده از یک نقطه Radix (به نام یک نقطه اعشاری در سیستم اعشاری) تنظیم می شوند ، نشان دهند. به عنوان مثال ، شماره باینری 11. 01₂بنابراین به معنای:

برای کل 3. 25 اعشاری.

یک عدد باینری خاتمه دهنده داشته باشید - نمایندگی باینری پس از نقطه Radix تعداد محدودی از اصطلاحات را دارد. اعداد منطقی دیگر دارای بازنمایی باینری هستند ، اما به جای خاتمه دادن ، آنها عود می کنند ، با یک توالی محدود از ارقام که به طور نامحدود تکرار می شوند. برای مثال

>>" /> = = 0.010101overlineldots_2" />>>" /> = = 0.1011010010110100overlineldots_2" />

پدیده ای که بازنمایی باینری از هرگونه منطقی یا خاتمه یا تکراری است نیز در سایر سیستم های شماره مبتنی بر Radix رخ می دهد. به عنوان مثال ، توضیح در اعشاری را ببینید. شباهت دیگر وجود بازنمایی های جایگزین برای هرگونه نمایندگی خاتمه دهنده ، با تکیه بر این واقعیت است که 0. 111111. مجموع سری هندسی 2 - 1 + 2 - 2 + 2 - 3 + است. که 1 است.

اعداد باینری که نه خاتمه می دهند و نه عود می کنند ، تعداد غیر منطقی را نشان می دهند. برای مثال،

، ریشه مربع 2 ، غیر منطقی دیگر. این الگوی قابل تشخیص ندارد. به شماره غیر منطقی مراجعه کنید.