اقدامات گسترش

اقدامات مرکز برای ارائه "بهترین حدس" در یک متغیر بسیار مفید است. اما این حدس ها چقدر مفید هستند؟

در این بخش در مورد انحراف استاندارد و واریانس مطلع خواهید شد. این رایج ترین "اقدامات گسترش" است ، زیرا آنها نشان می دهند که چگونه یک مجموعه داده پخش می شود. این آمار همچنین برای اطلاع از چگونگی مفید بودن سایر آمار (مانند میانگین) برای پیش بینی ها استفاده می شود.

تلاش برای حدس زدن مقدار متغیری که خیلی تغییر نمی کند بسیار ساده تر از تلاش برای حدس زدن مقدار متغیر است که می تواند به شدت تغییر کند. برای مثال شدید ، فرض کنید دو شهر بسیار متفاوت در کنار یکدیگر وجود دارد. در "سازگار" ، همه سالانه 50،000 دلار حقوق دارند. در "Wonkytown" دقیقاً نیمی از مردم سالانه 100000 دلار حقوق دارند و نیمی دیگر بیکار هستند.

در بالا یک مجموعه داده نمونه برای 6 نفر در هر یک از شهرها و حقوق آنها قرار دارد.

س-1: میانگین حقوق در سازگار چیست؟(جواب خود را به دلار بدهید.)

Q-2: میانگین حقوق در Winkytown چقدر است؟(جواب خود را به دلار بدهید.)

از آنجا که همه ساکنان سازگار با همان حقوق 50،000 دلار درآمد دارند ، میانگین حقوق به سادگی 50،000 دلار است. اکنون از آنجا که دقیقاً نیمی از ساکنان Wonkytown 100000 دلار درآمد دارند و نیمی دیگر 0 دلار درآمد دارند ، باید این حس شهودی را ایجاد کند که میانگین حقوق در Winkytown نیز 50،000 دلار است. بنابراین "به طور متوسط" ، ساکنان سازگار و Wonkytown همان حقوق را می گیرند.

س-3: اگر یک ساکن تصادفی از سازگاریل را می گیرید ، حدس می زنید که حقوق آنها چیست؟آیا انتظار دارید درست باشد؟در Winkytown چطور؟

اگر یک ساکن تصادفی از Confitimalville را می گیرید و حدس می زنید که حقوق آنها میانگین 50،000 دلار است ، هر بار درست می خواهید. با این حال ، اگر همین کار را در Winkytown انجام دادید ، هر بار اشتباه می کنید! نه تنها حدس شما اشتباه خواهد بود ، بلکه 50،000 دلار پایین تر یا 50،000 دلار بالاتر از حقوق واقعی آنها خواهد بود ، که هر دو راه دور هستند! بنابراین در این حالت ، در حالی که میانگین یک "بهترین حدس" بسیار مؤثر در سازگار بود ، در Winkytown چندان مفید نبود.

در شهری مانند Wonkytown ، تشکیل "بهترین حدس" بسیار سخت است. این جایی است که اقدامات گسترش وارد می شود. اندازه گیری آمار گسترش ، اندازه گیری مرکز را تصحیح نمی کند ، اما می تواند به شما بگوید که این اندازه گیری مرکز چقدر مفید است. متداول ترین اندازه گیری گسترش ، انحراف استاندارد نامیده می شود.

تعریف انحراف استاندارد

انحراف استاندارد اندازه گیری چگونگی پخش نقاط داده در یک مجموعه داده است. انحراف استاندارد پایین به این معنی است که نقاط داده در مجموعه داده ها به طور کلی به هم نزدیک هستند. انحراف استاندارد بالا به این معنی است که نقاط داده در مجموعه داده ها به طور کلی از هم فاصله دارند.

به خودی خود ، انحراف استاندارد می تواند به شما کمک کند تخمین بزنید که "بهترین حدس" شما چقدر خوب است. این حتی هنگام مقایسه دو مجموعه داده مختلف حتی مفیدتر است ، زیرا می تواند به شما بگوید کدام مجموعه داده بیشتر پخش شده است. در مورد مقایسه سازگار و Wonkytown ، دانستن انحراف استاندارد به تنهایی به شما می گوید که در سازگار همه ، همه حقوق را یکسان می کنند ، در حالی که در Wonkytown حقوق با میانگین به طور متوسط 50،000 دلار متفاوت است. اگر حدس می زدید حقوق ، دانستن انحراف استاندارد به شما کمک می کند حدس و گمان بسیار آگاهانه تری داشته باشید!

انحراف استاندارد در یک هیستوگرام

به هیستوگرام جانبی در زیر نگاه کنید. این شامل دو متغیر (یکی به رنگ قرمز و دیگری به رنگ آبی) با میانگین یکسان است ، اما یکی با انحراف استاندارد بسیار بالاتر از دیگری.

Q-4: به نظر شما کدام متغیر انحراف استاندارد بالاتری دارد؟

نادرست: مقادیر قرمز همه در نزدیکی 0 در هم جمع شده اند.

درست. مقادیر آبی در طیف گسترده ای پخش می شود.

مثال: آب و هوا

با بازگشت به مقایسه آب و هوا در سیاتل و NYC ، این مثال به شما نشان می دهد که چگونه می توانید انحراف استاندارد یک مجموعه داده را در برگه ها محاسبه کنید. باز هم ، از ستون حداکثر دمای روزانه استفاده خواهید کرد.

انحراف استاندارد در ورق ها

عملکرد STDEVP انحراف استاندارد یک مجموعه داده را محاسبه می کند. مانند توابع آماری خلاصه قبلی ، می توانید چندین مقادیر جدا شده توسط یک کاما (به عنوان مثال = stdevp (مقدار 1 ، مقدار 2 ، مقدار 3)) را وارد کنید ، یا می توانید طیف وسیعی از سلولهایی را که می خواهید میانگین آن را بدانید وارد کنید (به عنوان مثال = stdevp(A1: A10)).

توجه داشته باشید که انواع مختلفی از عملکرد STDEVP در برگه ها وجود دارد. در این بخش همیشه می توانید از عملکرد STDEVP استفاده کنید. اگر به تفاوت بین انواع مختلف علاقه مند هستید ، این موضوع در مورد تفاوت های عملی به جزئیات می پردازد و این موضوع به نظریه ریاضی در پشت تفاوت می رود. در عمل ، تفاوت عددی زیادی بین توابع مختلف وجود ندارد.

پیدا کردن انحراف استاندارد حداکثر آب و هوای روزانه برای سیاتل تقریباً مشابه با پیدا کردن میانگین است ، مگر اینکه از عملکرد STDEVP استفاده کنید. این به شما می گوید که انحراف استاندارد حداکثر دمای روزانه در سیاتل 12. 9 درجه است.

س-5: انحراف استاندارد حداکثر دمای روزانه NYC چیست؟(از 1 نقطه اعشاری در پاسخ خود استفاده کنید.)

شما قبلاً دیده اید که میانگین دما برای سیاتل و NYC فقط با 3 درجه متفاوت است. انحراف استاندارد به شما نشان می دهد که تنوع حداکثر دمای روزانه تقریباً 7 درجه (بیش از 50 ٪) در NYC در مقایسه با سیاتل بالاتر است.

این مثال باید نشان دهد که دانستن میانگین گاهی اوقات کافی نیست. فقط با استفاده از میانگین ، شما ممکن است اعتقاد داشته باشید که سیاتل و NYC در تمام طول سال دمای بسیار مشابهی دارند. با این حال ، دانستن انحراف استاندارد در کنار میانگین ، به شما می گوید که در حالی که سیاتل و NYC میانگین دمای مشابهی دارند ، اما در NYC تغییرپذیری در طول سال بسیار بالاتر است. اگر دانش حداکثر و حداقل دمای هر دو شهر را به آن اضافه کنید ، ایده خوبی از فصلی دمای سالانه هر دو شهر خواهید داشت.

پسوند: واریانس

این ماده به عنوان مرجع برای کسانی که کنجکاو هستند در نظر گرفته شده است. این توصیف ، با تئوری و ریاضیات بیشتر ، چرا واریانس یک مفهوم مهم برای ریاضیدانان و آمار است.

در حالی که انحراف استاندارد به طور گسترده تری مورد استفاده قرار می گیرد ، در واقع از اندازه گیری دیگری از گسترش ، به نام واریانس مشتق شده است. به طور دقیق تر ، انحراف استاندارد ریشه مربع واریانس است. بسیاری از توزیع های احتمال از نظر میانگین و واریانس (نه انحراف استاندارد) تعریف می شوند. در این مقاله می توانید توضیح مفصلی دیگر پیدا کنید.

واریانس میانگین انحراف مربع (یا تفاوت مربع) از متغیر به میانگین آن است.

این بسیاری از کلمات است. یک روش بهتر برای درک آن ، تشریح روش محاسبه واریانس یک مجموعه داده ، آن را با داده داده A. تماس بگیرید.

میانگین مجموعه داده ها را محاسبه کنید.

تفاوت بین میانگین مجموعه داده A و هر مقدار را در مجموعه داده ها پیدا کنید. این مقادیر یک مجموعه داده جدید ، مجموعه داده B را تشکیل می دهند.

تمام مقادیر موجود در مجموعه داده ها را مربع کنید. این مقادیر یک مجموعه داده جدید ، مجموعه داده C را تشکیل می دهند.

میانگین مجموعه داده C واریانس مجموعه داده ها است.

به طور شهودی تر ، مجموعه داده های B به شما نشان می دهد که در مجموعه داده های A تا چه حد امتیازات از مرکز مجموعه داده ها وجود دارد.")سپس میانگین اختلافات مربع در مجموعه داده C به شما می گوید "به طور متوسط" تا چه حد نقاط A از میانگین است.

واریانس ورق ها

عملکرد VARP واریانس یک مجموعه داده را محاسبه می کند. مانند توابع آماری خلاصه قبلی ، می توانید چندین مقدار از هم جدا شده توسط یک کاما (به عنوان مثال = varp (مقدار 1 ، مقدار 2 ، مقدار 3)) را وارد کنید ، یا می توانید طیف وسیعی از سلولها را وارد کنید که می خواهید میانگین آن را بدانید (به عنوان مثال = = varp(A1: A10)).(توجه: همان احتیاطی که با STDEVP در مورد varp اعمال می شود.)

در سازگار ، هر حقوق 50،000 دلار و میانگین 50،000 دلار است. بنابراین ، تمام مقادیر موجود در مجموعه داده B صفر هستند ، بنابراین تمام مقادیر موجود در مجموعه داده C صفر هستند. میانگین این مجموعه داده تمام صفر صفر است ، بنابراین واریانس حقوق در سازگار با صفر است.(این اتفاق می افتد اگر و فقط اگر تمام مقادیر موجود در مجموعه داده یکسان باشند.)

در Wonkytown ، هر حقوق 50،000 دلار از میانگین (یا بالاتر یا پایین) فاصله دارد. بنابراین ، تمام مقادیر موجود در مجموعه داده B 50،000 دلار است ، بنابراین تمام مقادیر موجود در مجموعه داده C مربع آن ، 2500،000،000 ، در واحدهای دلار مربع است. میانگین مجموعه داده C ، و بنابراین واریانس حقوق در Winkytown ، همین مقدار است.

یک نکته منفی از واریانس واحد اندازه گیری آن است. از آنجا که شامل مربع کردن مقادیر مجموعه داده B است ، واحد اندازه گیری واریانس همیشه واحد مربع اندازه گیری مجموعه داده های اولیه (مجموعه داده A) است. به عنوان مثال ، در صورت در نظر گرفتن حقوق سازگار با سازگار یا Winkytown ، این واریانس به دلارهای مربعی خواهد بود. این ممکن است بسیار مفید نباشد ، و اینگونه است که از انحراف استاندارد (ریشه مربع واریانس) استفاده شد. هدف از انحراف استاندارد بیان واریانس اما در همان واحد داده ها است. انحرافات استاندارد حقوق در سازگار و Wonkytown به دلار اندازه گیری می شود.

در سازگار ، واریانس صفر است ، بنابراین انحراف استاندارد ریشه مربع صفر است که نیز صفر است. در Wonkytown ، این واریانس 2500،000،000 دلار مربع است ، بنابراین انحراف استاندارد ریشه مربع این است که 50،000 دلار آن (ممکن است حدس زده باشید). هر دوی این یافته ها به شما می گویند که چقدر می توانید انتظار داشته باشید که حدس خود را از میانگین: 0 دلار در سازگار ، 50،000 دلار در Winkytown.

توجه داشته باشید که همیشه محاسبه واریانس و انحراف استاندارد به صورت دستی امکان پذیر نیست. معمولاً باید از ابزاری مانند ورق استفاده کنید.

مثال: دانش آموزان ارتفاعات

ابتدا از روش محاسبه واریانس (فوق) برای محاسبه واریانس و انحراف استاندارد این مجموعه داده استفاده کنید. سپس می توانید پاسخ های خود را با استفاده از VARP و STDEVP تأیید کنید.

س-6: واریانس ارتفاعات در بین این دانش آموزان چیست؟(از 1 نقطه اعشاری در پاسخ خود استفاده کنید).

س-7: انحراف استاندارد از ارتفاعات در بین این دانش آموزان چیست؟(از 1 نقطه اعشاری در پاسخ خود استفاده کنید).

برنامه بیشتر ¶

برنامه های دنیای واقعی وجود دارد که می توان از این اقدامات مرکز استفاده کرد. این تمرین به بررسی حقوق ورزشکاران حرفه ای با اقدامات گسترش و همچنین سایر آمار می پردازد. اگر علاقه مند به تجربه بیشتر با هر یک از آمارهای قبلی آموخته شده هستید ، این کار را به صورت خود به صورت خود امتحان کنید.