6. 4 - تعیین کننده یک ماتریس مربع

تعیین کننده یک عدد واقعی است که با هر ماتریس مربع همراه است. من هنوز یک تعریف خوب انگلیسی برای آنچه یک تعیین کننده است پیدا نکرده ام. هر آنچه را که می توانم پیدا کنم یا آن را از نظر فرمول ریاضی تعریف می کند یا برخی از کاربردهای آن را پیشنهاد می کند. حتی تعریفی از تعیین کننده وجود دارد که آن را از نظر خود تعریف می کند.

تعیین کننده یک ماتریس مربع A توسط "det a" یا |A |اکنون ، آخرین مورد به نظر می رسد مانند ارزش مطلق A است ، اما شما باید زمینه را اعمال کنید. اگر خطوط عمودی در اطراف یک ماتریس باشد ، به معنای تعیین کننده است.

خط زیر دو روش برای نوشتن یک تعیین کننده را نشان می دهد.

تعیین کننده یک ماتریس 2 × 2

تعیین کننده یک ماتریس 2 × 2 بسیار شبیه به یک عمل محوری است. این محصول عناصر موجود در مورب اصلی منهای محصول عناصر خارج از مورب اصلی است.

خواص عوامل تعیین کننده

• تعیین کننده یک عدد واقعی است ، ماتریس نیست.
• تعیین کننده می تواند یک عدد منفی باشد.
• به هیچ وجه با ارزش مطلق همراه نیست به جز اینکه هر دو از خطوط عمودی استفاده می کنند.
• تعیین کننده فقط برای ماتریس مربع (2 2 2 ، 3 3 3 ، N × N) وجود دارد. تعیین کننده یک ماتریس 1 × 1 این مقدار واحد در تعیین کننده است.
• معکوس یک ماتریس فقط در صورتی که تعیین کننده صفر نباشد وجود خواهد داشت.

گسترش با استفاده از افراد زیر سن قانونی و کوفاکتورها

تعریف تعیین کننده ای که تاکنون داریم فقط برای یک ماتریس 2 × 2 است. یک میانبر برای یک ماتریس 3 × 3 وجود دارد ، اما من کاملاً معتقدم که شما باید روشی را که برای همه اندازه کار می کند ، بیاموزید ، نه فقط یک مورد خاص برای یک ماتریس 3 3.

این روش با استفاده از خردسالان و کوفاکتورها ، گسترش نامیده می شود. قبل از اینکه بتوانیم از آنها استفاده کنیم ، باید آنها را تعریف کنیم.

خردسال

جزئی برای هر عنصر تعیین کننده ای است که هنگام حذف ردیف و ستون که در آن حذف می شود ، نتیجه می گیرد.

نماد م_ijبرای ایستادن برای جزئی از عنصر در ردیف I و ستون J استفاده می شود. بنابراین م₂₁به معنای جزئی برای عنصر در ردیف 2 ، ستون 1 است.

تعیین کننده 3 × 3 را که در زیر نشان داده شده است در نظر بگیرید. من هدرها را درج کرده ام تا بتوانید ردیف ها و ستون ها را مستقیم نگه دارید ، اما معمولاً این موارد را شامل نمی شوید. ما قصد داریم برخی از افراد زیر سن قانونی را پیدا کنیم.

پیدا کردن خردسال برای r₂C₁

جزئی تعیین کننده ای است که هنگام حذف ردیف و ستون عنصری که می خواهید خردسال را برای آن پیدا کنید ، باقی می ماند. این بدان معناست که ما باید ردیف 2 و ستون 1 را حذف کنیم و سپس تعیین کننده را پیدا کنیم.

همانطور که مشاهده می کنید ، جزئی برای ردیف 2 و ستون 1 متر است₂₁= -4

بیایید یکی دیگر را امتحان کنیم.

پیدا کردن خردسال برای r₃C₂

این بار ، ردیف 3 و ستون 2 را حذف می کنیم.

بنابراین جزئی برای ردیف 3 ، ستون 2 متر است₃₂= -5.

ماتریس خردسالان

وقتی فقط سعی می کنید تعیین کننده یک ماتریس را پیدا کنید ، این بیش از حد است. اما یک کاربرد بسیار مفید برای آن وجود دارد و به ما امکان پیدا کردن افراد زیر سن قانونی را می دهد.

ماتریس خردسالان ماتریس مربعی است که در آن هر عنصر جزئی برای تعداد در آن موقعیت است.

در اینجا یک ماتریس عمومی از افراد زیر سن قانونی برای یک تعیین کننده 3 × 3 وجود دارد.

بیایید ماتریس خردسالان را برای تعیین کننده اصلی خود پیدا کنیم. در اینجا تعیین کننده است.

در اینجا کار برای یافتن هر خردسال در ماتریس خردسالان است.

سرانجام ، در اینجا ماتریس خردسالان است. باز هم ، نیازی به قرار دادن برچسب ها برای ردیف و ستون ها در آنجا نیست ، اما ممکن است به شما کمک کند.

هموار

یک کوفاکتور برای هر عنصر یا جزئی یا برعکس خردسال است ، بسته به اینکه این عنصر در تعیین کننده اصلی قرار دارد. اگر ردیف و ستون عنصر به یک عدد یکنواخت اضافه شود ، پس کوفاکتور همان اندازه خردسال است. اگر ردیف و ستون عنصر به یک عدد عجیب و غریب اضافه شود ، پس کوفاکتور برعکس خردسال است.

اوه - این را گرفتی؟علائم عجیب و غریب ، حتی همان علامت است. Deja Vu. ما از بخش 3. 2 در مورد چند جمله ای در مورد آن صحبت کرده ایم.

نمودار امضاء

به جای اضافه کردن ردیف و ستون عنصر برای دیدن اینکه آیا عجیب است یا حتی ، بسیاری از افراد ترجیح می دهند از نمودار علامت استفاده کنند. نمودار علامت یا A + یا - برای هر عنصر در ماتریس است. عنصر اول (ردیف 1 ، ستون 1) همیشه A + است و از آنجا متناوب است.

توجه: + به معنای مثبت و منفی نیست.+ به معنای همان علامت خردسال است و به معنای خلاف خردسال است. به جای مثبت یا منفی ، به آن اضافه و تفریق فکر کنید.

در اینجا نمودار علامت برای یک تعیین کننده 2 × 2 آورده شده است.

در اینجا نمودار علامت برای تعیین کننده 3 × 3 آورده شده است.

ماتریس کوفاکتورها

باز هم ، اگر تنها کاری که می خواهید انجام دهید این است که تعیین کننده را پیدا کنید ، نیازی به انجام این کار زیاد نیست.

ماتریس کوفاکتورها ماتریسی است که با تعویض هر عنصر یک ماتریس توسط کوفاکتور آن یافت می شود. این ماتریس افراد زیر سن قانونی است که علائم آن بر روی عناصر موجود در موقعیت ها تغییر یافته است.

در حال گسترش برای یافتن تعیین کننده

در اینجا مراحل لازم برای یافتن تعیین کننده آورده شده است.

1. هر سطر یا ستونی را در ماتریس انتخاب کنید. فرقی نمی کند از کدام سطر یا ستون استفاده کنید، پاسخ برای هر سطر یکسان خواهد بود. برخی سطرها یا ستون ها ساده تر از بقیه هستند، اما بعداً به آن خواهیم پرداخت.
2. هر عنصر در آن سطر یا ستون را در کوفاکتور آن ضرب کنید و اضافه کنید. نتیجه تعیین کننده است.

بیایید ماتریس خود را در امتداد ردیف اول گسترش دهیم.

از نمودار علامت می بینیم که 1 در موقعیت مثبت، 3 در موقعیت منفی و 2 در موقعیت مثبت است. با قرار دادن + یا - در جلوی عنصر، از تنظیم علامت هنگام رفتن از مینور به کوفاکتور مراقبت می کند.

= 1 ( 2 - 15 ) - 3 ( 8 - 6 ) + 2 ( 20 - 2 ) = 1 ( -13 ) - 3 ( 2 ) + 2 (18) = -13 - 6 + 36 = 17

تعیین کننده این ماتریس 17 است.

همانطور که قبلاً گفتم، واقعاً مهم نیست که از کدام ردیف یا ستون استفاده می کنید.

بیایید دوباره آن را امتحان کنیم، اما این بار در ستون های دوم گسترش می یابد. به عنوان تلاشی برای صرفه جویی در زمان، مینورهای آن ستون (از ماتریس مینورها) 2، -2، و-5 بود. عناصر اصلی 3، 1 و 5 بودند. 3 و 5 در موقعیت های منفی قرار دارند.

تعیین کننده = - 3 ( 2 ) + 1 ( - 2 ) - 5 ( -5 ) = - 6-2 + 25 = 17

روی هر سطر یا هر ستونی بزرگ کنید، 17 خواهید داشت.

با این حال، شما نمی توانید مورب انجام دهید. اگر مورب اصلی را امتحان کنیم، دریافت می کنید

+ 1 ( -13 ) + 1 ( -2 ) + 2 ( -11 ) = -1 3-2 - 22 = -37

برخی از ردیف ها یا ستون ها بهتر از بقیه هستند

1. سطر یا ستونی را با بیشترین صفر در آن انتخاب کنید. از آنجایی که هر مینور یا کوفاکتور در عنصر موجود در ماتریس ضرب می شود، انتخاب یک سطر یا ستون با تعداد زیادی صفر در آن به این معنی است که در تعداد زیادی صفر ضرب خواهید شد. ضرب در صفر اصلاً زمان زیادی نمی برد. در واقع، اگر عنصر صفر باشد، حتی نیازی به یافتن مینور یا کوفاکتور ندارید.
2. سطر یا ستونی را با بیشترین اعداد (یا متغیرها) در آن انتخاب کنید. عناصر موجود در سطر یا ستونی که در امتداد آنها گسترش می دهید برای یافتن موارد فرعی استفاده نمی شوند. تنها جایی که آنها ضرب می شوند یک بار در بسط است. اگر سطر یا ستونی را با کوچکترین اعداد انتخاب کنید، هر مینور حاصل ضرب اعداد بزرگتر خواهد بود. اگر سطر یا ستونی را انتخاب کنید که دارای متغیرهایی در آن باشد، در طول بسط فقط باید یک بار در متغیرها ضرب کنید.

معکوس یک ماتریس (بازبینی مجدد)

بیایید این بار تعیین کننده اصلی خود را به عنوان یک ماتریس در نظر بگیریم.

همانطور که در بالا توضیح داده شد، ماتریس مینورها را بیابید.

با تغییر علائم روی عناصر مناسب بر اساس نمودار نشانه، آن را به ماتریسی از کوفاکتورها تبدیل کنید.

با انتقال ماتریس کوفاکتورها ، مجاور را پیدا کنید.

برای انتقال یک ماتریس ، ردیف ها و ستون ها را تغییر می دهید. یعنی ردیف ها به ستون تبدیل می شوند و ستون ها به ردیف تبدیل می شوند. با وارد کردن نام ماتریس و سپس انتخاب ماتریس ، ریاضیات و سپس گزینه 2 ، یک t فوق العاده ، مانند [a] t ، می توان با استفاده از ماشین حساب TI-82 یا TI-83 یافت.

سرانجام مجدداً ماتریس را با تعیین کننده ماتریس تقسیم کنید. در این مشکل ، تعیین کننده 17 است ، بنابراین ما هر عنصر را با 17 تقسیم می کنیم. ماتریس حاصل معکوس ماتریس اصلی است.

معکوس یک ماتریس با تقسیم مجاور ماتریس توسط تعیین کننده ماتریس یافت می شود. آن را روی ماشین حساب خود امتحان نکنید زیرا ماشین حساب به شما امکان نمی دهد یک ماتریس را با یک مقیاس تقسیم کنید. به جای آن باید با معکوس تعیین کننده ضرب کنید.

اگر آن را با ماشین حساب خود بررسی کنید ، می توانید تأیید کنید که معکوس در واقع مورد نظر است که توسط تعیین کننده تقسیم می شود.

از آنجایی که معکوس مورد نظر است که توسط تعیین کننده تقسیم می شود ، می توانیم ببینیم که اگر تعیین کننده صفر باشد ، معکوس وجود ندارد. این امر باعث تقسیم صفر می شود ، که تعریف نشده است.

عوامل تعیین کننده سفارش بزرگتر

بیایید تعیین کننده یک سیستم 4x4 را پیدا کنیم.

ردیف یا ستون را با بیشترین صفرهای موجود در آن انتخاب کنید. در این حالت ، این ستون دوم است.

برای هر عنصر در ماتریس اصلی ، جزئی آن یک تعیین کننده 3 × 3 خواهد بود. ما باید با استفاده از سه عامل 2 × 2 ، هر یک از آنها را گسترش دهیم.

به همین دلیل می خواهیم در امتداد ستون دوم گسترش دهیم. خردسالان توسط عناصر خود ضرب می شوند ، بنابراین اگر عنصر موجود در ماتریس اصلی 0 باشد ، مهم نیست که خردسال چیست و ما می توانیم با عدم یافتن آن ، زمان زیادی را صرفه جویی کنیم. در ستون دوم ، نیازی به یافتن دو نفر از افراد زیر سن قانونی ندارید زیرا عنصر مربوطه آنها در ستون دوم صفر است.

ما در واقع می توانستیم آن دو زیر سن قانونی میانی را پر کنیم ، اما از آنجا که آنها با 0 ضرب می شوند ، مهم نیست که آنها چه هستند. در واقع ، شما می توانید به راحتی از آنها پرش کنید.

اکنون ، دو تعیین کننده 3x3 برای یافتن باقی مانده است.

در تعیین کننده 3x3 اول ، هیچ صفر وجود ندارد ، بنابراین ردیف یا ستون را با بیشترین تعداد انتخاب کنید. این ستون 1 خواهد بود ، بنابراین در امتداد ستون اول گسترش دهید.

توجه کنید که 4 در موقعیت مثبت قرار دارد. نمودارهای علامت با هر تعیین کننده جدید آغاز می شود. موقعیت تعداد در ماتریس اصلی مهم نیست ، فقط موقعیت آن در ماتریس فعلی است.

= 4 (2 - 3) - 3 (1 - 6) + 9 (1 - 4) = 4 (-1) - 3 (-5) + 9 (-3) = -4 + 15 - 27 = -16

ماتریس 3 × 3 دیگر را در نظر بگیرید. در این مورد ، 0 در ردیف 1 و ستون 2 وجود دارد. یا یکی از این موارد انتخاب خوبی برای گسترش خواهد بود ، اما از آنجا که ردیف 1 تعداد کمی بیشتر دارد ، ما در امتداد ردیف اول گسترش خواهیم یافت.

= 3 (1 - 4) - 0 (مهم نیست) + 1 (8 - 3) = 3 (-3) + 1 (5) = -9 + 5 = -4

هنگامی که برای یافتن تعیین کننده می روید ، به یاد داشته باشید که عناصری از ماتریس اصلی 4 × 4 وجود داشت که هر یک از این عوامل 3 × 3 بود. مورد او ل-2 و مورد دوم +2 بود.

تعیین کننده = -2 (-16) + 2 (-4) = 3 2-8 = 24

بدترین شکل قضیه

برای یافتن یک تعیین کننده 3x3 بدون صفر ، باید سه عامل 2x2 را پیدا کنید.

برای یافتن یک تعیین کننده 4x4 بدون صفر ، باید چهار تعیین کننده 3x3 را پیدا کنید که هر یک از آنها به سه تعیین کننده 2x2 برای کل دوازده تعیین کننده 2x2 تبدیل می شود.

برای یافتن یک تعیین کننده 5x5 بدون صفر ، باید پنج عامل تعیین کننده 4x4 را پیدا کنید که هر یک از آنها به چهار تعیین کننده 3x3 تبدیل می شود که هر یک از آنها سه عامل تعیین کننده 2x2 برای کل شصت 2x2 تعیین کننده می شوند.

با استفاده از ماشین حساب

پس از آن آخرین مشکل ، شما باید از خود بپرسید که آیا راهی آسان تر وجود ندارد یا خیر. خوب ، بله ، تا زمانی که تعیین کننده هیچ متغیرهایی در آن نداشته باشد ، وجود دارد. می توانید از ماشین حساب استفاده کنید.

نماد که از ماشین حساب TI-82 یا TI-83 استفاده می کند ، یک نماد DET است. بنابراین ، پس از ورود به ماتریس در یکی از ماتریس های موجود در ماشین حساب ، با رفتن ماتریس ، ریاضی و انتخاب گزینه 1. DET را وارد کنید. سپس نام ماتریسی را که استفاده می کنید قرار دهید.

شما نیازی به استفاده از پرانتز ندارید (مگر اینکه TI-83 داشته باشید) ، اما اگر می خواهید تعیین کننده یک محصول "det ([a]*[b])" یا تعیین کننده انتقال "را پیدا کنید می توانید پیدا کنید. det ([a] t) "بر خلاف انتقال تعیین کننده" (det [a]) t ". به هر حال ، ماشین حساب انتقال یک عامل تعیین کننده را پیدا نمی کند زیرا تعیین کننده یک مقیاس (عدد واقعی) است و ماشین حساب فقط می داند که چگونه می توان انتقال یک ماتریس را پیدا کرد. انتقال یک مقیاس آن مقیاس است.

ماتریس مثلثی

شما واقعاً دوست دارید تعیین کننده این ماتریس ها را پیدا کنید.

ماتریس مثلثی فوقانی ماتریس A که در آن تمام عناصر غیر صفر در مورب اصلی یا بالاتر از آن قرار دارند. یعنی تمام مقادیر غیر صفر در مثلث فوقانی قرار دارند. همه چیز زیر مورب صفر است. ماتریس مثلثی پایین A ماتریس که در آن تمام عناصر غیر صفر یا روی مورب اصلی یا زیر آن قرار دارند. یعنی تمام مقادیر غیر صفر در مثلث پایین قرار دارند. همه چیز بالاتر از مورب صفر است. ماتریس مورب ماتریس A که در آن تمام عناصر غیر صفر روی مورب اصلی قرار دارند. همه چیز از مورب اصلی صفر است.

تعیین کننده یک ماتریس مثلثی یا یک ماتریس مورب محصول عناصر موجود در مورب اصلی است.

عملیات ردیف ابتدایی

سه عملیات ردیف ابتدایی وجود داشت که می توانند یک سیستم معادل را بازگردانند. با تعیین کننده ها ، از آنجا که تعیین کننده یک ترانسپور همانند تعیین کننده ماتریس است ، می توان عملیات ردیف ابتدایی را نیز در ستون ها اعمال کرد.

با انجام کاهش ردیف (استفاده از محوری در 1 در صورت تمایل) ، می توانید یک ماتریس را به صورت مثلثی قرار دهید. هنگامی که به شکل مثلثی است ، تنها کاری که باید انجام دهید این است که توسط عناصر موجود در مورب اصلی ضرب کنید و تعیین کننده آن هستید.

بیایید به هر یک از سه عملیات ردیف ابتدایی نگاه کنیم.

1. اگر دو ردیف یا دو ستون را در یک عامل تعیین کنید ، تعیین کننده نتیجه فقط در علامت متفاوت خواهد بود. یعنی اگر ردیف ها یا ستون ها را عوض کنید ، تعیین کننده نتیجه برعکس تعیین کننده اصلی است.
2. اگر یک ردیف یا ستون را با ثابت غیر صفر ضرب کنید ، تعیین کننده با همان ثابت غیر صفر ضرب می شود.
3. اگر یک ردیف یا ستون را با یک ثابت غیر صفر ضرب کنید و آن را به یک ردیف یا ستون دیگر اضافه کنید و آن ردیف یا ستون را جایگزین کنید ، هیچ تغییری در تعیین کننده وجود ندارد.

این آخرین عمل معادل محوری روی یک است!

هشدار ، اگر محوری شما شماره ای غیر از یک باشد ، پس هر سطر را که توسط عنصر محوری تغییر می دهید ، ضرب می کنید. بنابراین ، اگر روی 3 قرار بگیرید و دو ردیف را تغییر دهید ، تعیین کننده نتیجه 3*3 = 9 برابر بیشتر از تعیین کننده اصلی خواهد بود.

تا زمانی که روی یک حرکت کنید ، خوب خواهید بود.

لازم نیست ماتریس را در فرم اکلون ردیف کاهش یافته یا حتی فرم اکلون ردیف قرار دهید. شما آزاد هستید که در هر نقطه کاهش را متوقف کنید و با استفاده از افراد زیر سن قانونی و کوفاکتورها گسترش دهید. آنچه من پیشنهاد می کنم محوری است که در آن وجود دارد ، و سپس گسترش می یابد.

عوامل تعیین کننده صفر

تعیین کننده یک ماتریس در صورت صفر خواهد بود

1. یک ردیف کامل صفر است.
2. دو ردیف یا ستون برابر است.
3. یک ردیف یا ستون یک چند برابر ثابت از ردیف یا ستون دیگر است.

به یاد داشته باشید که یک ماتریس غیر قابل برگشت ، غیر آواز است ، اگر و فقط اگر تعیین کننده صفر نباشد. بنابراین ، اگر تعیین کننده صفر باشد ، ماتریس مفرد است و معکوس ندارد.