میزان تغییر یک عملکرد را محاسبه کنید

تغییر قیمت در سال نرخ تغییر است زیرا توصیف می کند که چگونه یک مقدار خروجی نسبت به تغییر در مقدار ورودی تغییر می کند. می توانیم ببینیم که قیمت بنزین در جدول 1 هر سال به همان مبلغ تغییر نمی کند ، بنابراین نرخ تغییر ثابت نیست. اگر فقط از داده های آغاز و پایان استفاده کنیم ، می توانیم میانگین نرخ تغییر را در مدت زمان مشخص پیدا کنیم. برای یافتن میانگین نرخ تغییر ، ما تغییر در مقدار خروجی را با تغییر در مقدار ورودی تقسیم می کنیم.

نامه یونانی (دلتا) نشان دهنده تغییر در یک مقدار است. ما نسبت را به عنوان "Delta- over delta-" یا "تغییر در تقسیم بر تغییر در" می خوانیم. گاهی اوقات ما به جای آن می نویسیم ، که هنوز نشان دهنده تغییر در مقدار خروجی عملکرد ناشی از تغییر به مقدار ورودی آن است. این بدان معنا نیست که ما عملکرد را به عملکرد دیگری تغییر می دهیم.

در مثال ما ، قیمت بنزین از سال 2005 تا 2012 افزایش یافته است. بیش از 7 سال ، میانگین نرخ تغییر بود

به طور متوسط ، قیمت گاز حدود هر سال افزایش یافته است.

نمونه های دیگر نرخ تغییر عبارتند از:

• جمعیتی از موش ها در هفته 40 موش افزایش می یابد
• یک اتومبیل که 68 مایل در ساعت حرکت می کند (با گذشت زمان ، هر ساعت 68 مایل تغییر می کند)
• اتومبیل رانندگی 27 مایل در هر گالن (مسافت مسافتی برای هر گالن 27 مایل تغییر کرده است)
• جریان از طریق یک مدار الکتریکی که توسط آمپر برای هر ولت افزایش ولتاژ افزایش می یابد
• میزان پول در یک حساب کالج در هر سه ماه کاهش می یابد

نرخ تغییر

نرخ تغییر توصیف می کند که چگونه یک مقدار خروجی نسبت به تغییر در مقدار ورودی تغییر می کند. واحدهای با نرخ تغییر "واحدهای خروجی در هر واحد ورودی" هستند.

میانگین نرخ تغییر بین دو مقدار ورودی ، تغییر کل مقادیر عملکرد (مقادیر خروجی) است که با تغییر در مقادیر ورودی تقسیم می شود.

چگونه

با توجه به مقدار یک تابع در نقاط مختلف ، میانگین نرخ تغییر یک تابع برای فاصله بین دو مقدار و.

1. تفاوت را محاسبه کنید.
2. تفاوت را محاسبه کنید.
3. نسبت را پیدا کنید.

مثال 1

محاسبه نرخ متوسط تغییر

با استفاده از داده های موجود در جدول 1 ، میانگین نرخ تغییر قیمت بنزین بین سالهای 2007 تا 2009 را پیدا کنید.

در سال 2007 ، قیمت بنزین بود. در سال 2009 ، هزینه بود. میانگین نرخ تغییر است

تحلیل و بررسی

توجه داشته باشید که کاهش با تغییر منفی یا "افزایش منفی" بیان می شود. با افزایش ورودی با افزایش ورودی یا افزایش خروجی با کاهش ورودی ، میزان تغییر منفی است.

شماره 1 را امتحان کنید

با استفاده از داده های موجود در جدول 1 ، میانگین نرخ تغییر را بین سالهای 2005 تا 2010 پیدا کنید.

مثال 2

محاسبه میانگین نرخ تغییر از یک نمودار

با توجه به عملکرد نشان داده شده در شکل 1 ، میانگین نرخ تغییر در فاصله را پیدا کنید.

شکل 1

راه حل

در ، شکل 2 نشان می دهد. در ، نمودار نشان می دهد.

شکل 2

تغییر افقی توسط فلش قرمز نشان داده شده است و تغییر عمودی توسط فلش فیروزه ای نشان داده شده است. میانگین نرخ تغییر توسط شیب بخش خط نارنجی نشان داده شده است. خروجی توسط در حالی که ورودی توسط تغییر می کند ، تغییر می کند و نرخ متوسط تغییر را می دهد

تحلیل و بررسی

توجه داشته باشید که سفارش ما انتخاب می کنیم بسیار مهم است. اگر به عنوان مثال ، ما از آن استفاده می کنیم ، جواب صحیحی نمی گیریم. تصمیم بگیرید که کدام نقطه 1 خواهد بود و کدام نقطه 2 خواهد بود و مختصات را به عنوان و ثابت نگه دارید.

مثال 3

محاسبه میانگین نرخ تغییر از یک جدول

پس از انتخاب دوستی که 10 مایل دورتر زندگی می کند و در یک سفر ترک می شود ، آنا با گذشت زمان فاصله خود را از خانه ثبت می کند. مقادیر در جدول 2 نشان داده شده است. سرعت متوسط او را در طول 6 ساعت اول پیدا کنید.

راه حل

در اینجا ، میانگین سرعت متوسط تغییر است. او در 6 ساعت 282 مایل طی کرد.

میانگین سرعت 47 مایل در ساعت است.

تحلیل و بررسی

از آنجا که سرعت ثابت نیست ، میانگین سرعت به فاصله انتخاب شده بستگی دارد. برای فاصله [2،3] ، میانگین سرعت 63 مایل در ساعت است.

مثال 4

محاسبه میانگین نرخ تغییر برای عملکردی که به عنوان فرمول بیان شده است

میانگین نرخ تغییر در فاصله را محاسبه کنید.

راه حل

ما می توانیم با محاسبه مقادیر عملکرد در هر نقطه پایانی فاصله شروع کنیم.

اکنون ما میانگین نرخ تغییر را محاسبه می کنیم.

شماره 2 را امتحان کنید

میانگین نرخ تغییر در فاصله را پیدا کنید.

مثال 5

یافتن نرخ متوسط تغییر نیرو

نیروی الکترواستاتیک ، که در نیوتون ها اندازه گیری می شود ، بین دو ذره بار می تواند با فاصله بین ذرات ، در سانتی متر ، با فرمول مرتبط باشد. اگر فاصله بین ذرات از آن افزایش یابد ، میانگین تغییر نیرو را پیدا کنید.

راه حل

ما در حال محاسبه نرخ متوسط تغییر در فاصله هستیم.

میانگین نرخ تغییر نیوتن در سانتیمتر است.

مثال 6

پیدا کردن نرخ متوسط تغییر به عنوان یک عبارت

میانگین نرخ تغییر در فاصله را پیدا کنید. پاسخ عبارتی خواهد بود که در ساده ترین شکل وجود دارد.

راه حل

ما از نرخ متوسط فرمول تغییر استفاده می کنیم.

این نتیجه میانگین نرخ تغییر را از نظر بین و هر نقطه دیگر به ما می گوید. به عنوان مثال ، در فاصله ، میانگین نرخ تغییر خواهد بود.

شماره 3 را امتحان کنید

میانگین نرخ تغییر در فاصله را به صورت ساده ترین اشکال از نظر پیدا کنید.